• Variabili che non si possono osservare direttamente \(\rightarrow\) Variabili Latenti (e.g., Intelligenza, Depressione, Ansia, Estroversione)

• Inferite dagli indicatori \(\rightarrow\) Variabili Osservate (e.g., risposte alle matrici di Raven)

Esempio

Osserviamo Giorgio e vediamo che Giorgio:

• ha tanti amici

• è contento quando ha tante persone intorno

• cerca sempre di rimanere in contatto con le persone

• partecipa a tanti eventi sociali

• \(\ldots\)

I comportamenti di Giorgio (Variabili osservate) sono spiegabili sulla base del costrutto latente (variabile latente) estroversione

Modelli matematici che permettono di collegare le variabili latenti con le variabili manifeste

Assunzioni:

• Le variabili latenti sono la “causa” della variabilità nelle variabili osservate

• Indipendenza Locale: Una volta presa in considerazione l’effetto della variabile latente, la correlazione tra le variabili manifeste svanisce

A ognuno il suo

IRT vs. CTT

Sia i modelli dell’IRT sia la Classical Test Theory (CTT) hanno come obiettivo la misurazione delle persone

Stabilire la posizione delle persone sul tratto latente di interesse e il loro ordinamento

La probabilità di una risposta osservata (variabile manifesta) dipende sia dalle caratteristiche della persona sia dalle caratteristiche dell’item

Le caratteristiche della persona possono essere descritte da un parametro relativo alla persona \(\rightarrow\) Costrutto Latente (e.g., intelligenza, Ansia, ecc.)

Le caratteristiche dell’item possono essere descritte da uno o più parametri (difficoltà, discriminatività, guessing, careless error)

Le caratteristiche degli item e della persona stanno sullo stesso tratto latente

1. Monotonicità

2. Unidimensionalità

La probabilità di rispondere correttamente agli item aumenta all’aumentare del livello del tratto latente

Se questa assunzione viene violata, si hanno dei problemi a livello di validità e attendibilità della misura

L’assunzione di unidimensionalità indica che un solo tratto latente è responsabile delle risposte agli item

L’assunzione di indipendenza locale indica che non esiste alcuna relazione tra le risposte di un soggetto ad item diversi dopo aver controllato per il tratto latente

In generale

• Le caratteristiche delle persone e degli item si trovano sullo stesso tratto latente

• Al variare della distanza sul tratto latente, la probabilità di osservare una risposta positiva cambia

• (Nella maggior parte dei casi) Quando il parametro relativo alla persona e il parametro relativo all’item sono uguali si ha il 50% di probabilità di osservare una risposta positiva

Si distinguono in base al numero di parametri che descrivono le caratteristiche degli item:

• Modello logistico a un parametro (one-parameter logistic model; 1PL) Analogo al modello di Rasch (a un GLM…)

• Modello logistico a due parametri (two-parameter logistic model; 2PL)

• Modello logistico a tre parametri (three-parameter logistic model; 3PL)

• Modello logistico a quattro parametri (four-parameter logistic model; 4PL; usato raramente)

Item Response Function

\[P(x_{pi} = 1| \theta_p, b_i) = \dfrac{\exp(\theta_p - b_i)}{1 + \exp(\theta_p - b_i)}\]

Item Information Function

Misura della precisione con cui ogni item misura diversi livello del tratto latente

\[IIF_i(\theta) = P_i(\theta,b_i)Q_i(\theta, b_i)\]

dove chiaramente \(Q = 1−P_i(\theta_i,b_i)\) è la probabilità di risposta errata all’item \(i\)

Valore massimo quando \(\theta_p = b_i\) \(\rightarrow\) \(P(x_{pi}=1) = P(x_{pi}=0) =0.50\) \(\rightarrow\) \(\max IIF_i = .25\)

Qualsiasi item è più informativo per i soggetti con abilità uguale alla location dell’item \(\rightarrow\) al crescere della distanza tra soggetto e item, cala l’informatività

Tanti soggetti con livelli diversi di abilità \(\rightarrow\) item con livelli di difficoltà distribuiti lungo tutto il continuum latente

Item con diverse locations: IIF

Restituisce una misura dell’accuratezza con cui il test misura complessivamente il tratto latente:

\[TIF(\theta) = \sum_{i=1}^{I} IIF_i(\theta, b_i)\]

La TIF permette di prevedere l’accuratezza con cui è possibile misurare ogni livello di tratto latente

Simile al concetto di attendibilità in CTT

Standard Error of Measurement (SEM)

Descrive la precisione della misurazione:

\[SEM(\theta) = \sqrt{\dfrac{1}{TIF(\theta)}}\] Maggiore è l’informazione, minore è il SEM

Minore è l’informazione, maggiore è il SEM

A differenza della CTT, non si assume che l’errore di misura sia uguale per tutti i soggetti

Relazione TIF e SEM

Item Response Function

\[P(x_{pi} = 1|\theta_p, b_i, a_i) = \frac{\exp[a_i(\theta_p - b_i)])}{1 + \exp[a_i(\theta_p - b_i)]}\]

Item Information Function

\[IIF_i(\theta) = a_i^2P_i(\theta, b_i, a_i)Q_i(\theta, b_i, a_i)\]

Test Information Function

In summary

Item Information Function

Test Information Function

Item Response Function

\[P(x_{pi}= 1| \theta_p, b_i, a_i, c_i, d_i) = c_i + (d_i -c_i) \dfrac{\exp[a_i(\theta_p - b_i)]}{1 + \exp[a_i(\theta_p - b_i)]}\]

Il parametro \(d_i\) è la careless error: Quando \(\theta \to +\infty\), \(P(x_{pi} =1) \to d_i\)

Item Information Function

\[\text{IIF}_{i}(\theta) = \dfrac{a_i^2[P(\theta)-c_i]^2[d_i - P(\theta)]^2}{(d_{i}-c_i)^2 P(\theta)Q(\theta)}\]

Test Information Function

L’influenza della careless error

• Fissando \(d_i = 1\) \(\forall i\) \(\rightarrow\) si ottiene il 3-PL dal 4-PL

• Fissando \(c_i = 0\) \(\forall i\) \(\rightarrow\) si ottiene il 2-PL dal 3-PL

• Fissando \(a_i = 1\) \(\forall i\) \(\rightarrow\) si ottiene l’1-PL dal 2-PL

E il modello di Rasch?

\[P(x_{pi} = 1 |\theta_p,b_i) = \dfrac{\exp (\theta_p -b_i)}{1+ \exp (\theta_p -b_i)}\]

A livello matematico, il modello di Rasch e l’1-PL sono la stessa cosa

Come filosofia sottostante, sono due modelli completamente diversi

Tutti i modelli sono sbagliati….

…Ma alcuni sono utili

Il modello può essere scelto:

• A priori:

  • considerazioni di natura teorica
  • caratteristiche degli item stessi

• A posteriori:

  • Si stimano tutti i modelli IRT sui dati
  • Si confrontano e il modello che fitta meglio è il modello scelto